解析概論の無理数論を読む(その2)

解析概論の無理数論を読む(その1)の続きです.

the-maya-hiker.hatenablog.com

解析概論は用語や記法が独特なので,この記事では一般的(と思われる)用語や記法に書き改めることにします.

切断の定義

まずは切断の定義です.数直線をどこか1点で切断して左(小さい方)と右(大きい方)に分けるイメージですね.


定義1
有理数全部の集合 \mathbb{Q}を次の条件1, 2に従って空でない2つの部分集合 A,\ A'に分けるとき,その A,\ A'の対を切断といい, (A,\ A')で表す.

  1.  A \cup A' = \mathbb{Q} かつ  A \cap A' = \emptyset.すなわち  \mathbb{Q} を全体集合として, A = A'^c であり  A' = A^c である.
  2.  a \in A,\ a' \in A' ならば  a < a'

また  A を切断の下組 A'上組という.

切断の下組だけで定義する

切断  (A,\ A') において  A A' は互いに補集合なので,どちらか一方を決めれば自動的にもう一方が決まります.そこで切断の下組だけを次のように定義することができます.


定義2
切断の下組  A は上に有界な空でない有理数の集合で, a \in A,\ x \lt a ならば  x \in A

上に有界というのは上に限界があるということですね.つまり  A に含まれるどの有理数もこの値を超えない,というような値があるということです.そのような値のことを上界といいます.

さて,この切断の下組の定義が妥当であることを確認しておきます.つまり定義1における切断の下組がこの定義2の条件を満たすことと,逆にこの定義2の条件を満たす集合  A とその補集合の対が定義1における切断になっていることを確かめます.


(前半) (A,\ A') を切断とする.まず  A が上に有界であることを示す. A' \neq \emptyset であるから  A' はある有理数  a' を含む.そして定義1の条件2より, A に含まれる全ての有理数  a に対して  a \lt a' が成り立つ.すなわち  a' A の1つの上界である.これは  A が上に有界であることを意味する.次に定義2の条件の残りを示す. a \in A,\ x \lt a とするとき,もし  x \in A' だったと仮定すると定義1の条件2より  a \lt x となって矛盾する.よって  x \not \in A' すなわち  x \in A である.

(後半) A を切断の下組とし, A' = A^c とおく. \mathbb{Q} は上に有界ではないが, A は上に有界なので  A \neq \mathbb{Q} である.したがって, A' \neq \emptyset である.定義1の条件1は  A' の定め方によって満たされている. a \in A,\ a' \in A' とするとき,もし  a' \leq a だったと仮定すると,定義2の条件より  a' \in A となって矛盾する.よって  a \lt a' である.これで定義1の条件2を満たすことも示された.

これは定義1と定義2が本質的に同じであることを意味します.さて,これで切断が定義されました.

有理数の切断の図示。
図1. 切断のイメージ

この図1の数直線は有理数だけなので(無理数を含まないので),灰色で描いています。有理数は整数のように飛び飛びではなく,数直線上にぎっしり詰まっていますが,それでも隙間があるということを表現しているつもりです.

その3に続く.