解析概論の無理数論を読む(その1)の続きです.
解析概論は用語や記法が独特なので,この記事では一般的(と思われる)用語や記法に書き改めることにします.
切断の定義
まずは切断の定義です.数直線をどこか1点で切断して左(小さい方)と右(大きい方)に分けるイメージですね.
定義1
有理数全部の集合を次の条件1, 2に従って空でない2つの部分集合に分けるとき,そのの対を切断といい,で表す.
- かつ .すなわち を全体集合として, であり である.
- ならば .
また を切断の下組, を上組という.
切断の下組だけで定義する
切断 において と は互いに補集合なので,どちらか一方を決めれば自動的にもう一方が決まります.そこで切断の下組だけを次のように定義することができます.
上に有界というのは上に限界があるということですね.つまり に含まれるどの有理数もこの値を超えない,というような値があるということです.そのような値のことを上界といいます.
さて,この切断の下組の定義が妥当であることを確認しておきます.つまり定義1における切断の下組がこの定義2の条件を満たすことと,逆にこの定義2の条件を満たす集合 とその補集合の対が定義1における切断になっていることを確かめます.
(前半) を切断とする.まず が上に有界であることを示す. であるから はある有理数 を含む.そして定義1の条件2より, に含まれる全ての有理数 に対して が成り立つ.すなわち は の1つの上界である.これは が上に有界であることを意味する.次に定義2の条件の残りを示す. とするとき,もし だったと仮定すると定義1の条件2より となって矛盾する.よって すなわち である.
(後半) を切断の下組とし, とおく. は上に有界ではないが, は上に有界なので である.したがって, である.定義1の条件1は の定め方によって満たされている. とするとき,もし だったと仮定すると,定義2の条件より となって矛盾する.よって である.これで定義1の条件2を満たすことも示された.
これは定義1と定義2が本質的に同じであることを意味します.さて,これで切断が定義されました.
この図1の数直線は有理数だけなので(無理数を含まないので),灰色で描いています。有理数は整数のように飛び飛びではなく,数直線上にぎっしり詰まっていますが,それでも隙間があるということを表現しているつもりです.
その3に続く.