対称式を基本対称式の多項式として表す問題

数学

目標から大幅に遅れていますが，松坂和夫『代数系入門』をちまちま読み進めています． この記事では第5章§8の問題4(c)について書こうと思います． ただし，問題を明確にするために問題文を少し変えてあります．

問題

k を体とし，3変数 x_1,\ x_2,\ x_3 の k 上の多項式環 k[x_1, x_2, x_3] における基本対称式 a_1,\ a_2,\ a_3 を，

\displaystyle a_1 = x_1 + x_2 + x_3 \\ a_2 = x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1 \\ a_3 = x_1 x_2 x_3 \\

とする． このとき， D = (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2 を a_1,\ a_2,\ a_3 の多項式として表せ．

補題1

問題の D は3次多項式の判別式の形をしています． そこで，3次多項式の判別式を係数で表すことを考えます． そのために，次の命題を示します．

命題

K を任意の体とする． そして，変数 t の K 上の多項式 h を h = t^3 + c_1 t^2 + c_2 t + c_3 とし， \alpha,\ \beta,\ \gamma を h の3つの根とする． このとき， \Delta = (\alpha - \beta)^2 (\beta - \gamma)^2 (\gamma - \alpha)^2 とおくと， \Delta = -(3 \alpha^2 + 2 c_1 \alpha + c_2)(3 \beta^2 + 2 c_1 \beta + c_2)(3 \gamma^2 + 2 c_1 \gamma + c_2) である．

証明

h = (t - \alpha)(t - \beta)(t - \gamma) = t^3 - (\alpha + \beta + \gamma) t^2 + (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) t - \alpha \beta \gamma であるから，

\displaystyle \alpha + \beta + \gamma = -c_1 \\ \alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = c_2 \\ \alpha \beta \gamma = -c_3 \\

である．したがって，

\begin{align} (\alpha - \beta)(\alpha - \gamma) &= \alpha^2 - (\beta + \gamma) \alpha + \beta \gamma \\ &= \alpha^2 - (\beta + \gamma) \alpha + (c_2 - \alpha \beta - \gamma \alpha) \\ &= \alpha^2 - 2 (\beta + \gamma) \alpha + c_2 \\ &= \alpha^2 + 2 (\alpha + c_1) \alpha + c_2 \\ &= 3 \alpha^2 + 2 c_1 \alpha + c_2 \\ \end{align} \\

となる．同様にして（あるいは，上記の式の \alpha を \beta,\ \gamma それぞれと入れ替えて），

\displaystyle (\beta - \gamma)(\beta - \alpha) = 3 \beta^2 + 2 c_1 \beta + c_2 \\ (\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) = 3 \gamma^2 + 2 c_1 \gamma + c_2 \\

を得る．これより，

\begin{align} \Delta &= -(\alpha - \beta)(\alpha - \gamma)(\beta - \gamma)(\beta - \alpha)(\gamma - \alpha)(\gamma - \beta) \\ &= -(3 \alpha^2 + 2 c_1 \alpha + c_2)(3 \beta^2 + 2 c_1 \beta + c_2)(3 \gamma^2 + 2 c_1 \gamma + c_2) \end{align} \\

が成り立つ．

補題2

補題1では \Delta がまだ完全には係数 c_1,\ c_2,\ c_3 の多項式として表されていませんが，これを解くのは困難です． そこで補題2では，補題1の特別な場合として， c_1 = 0 の場合を考えます． この場合は，

\begin{align} \Delta &= -(3 \alpha^2 + 2 c_1 \alpha + c_2)(3 \beta^2 + 2 c_1 \beta + c_2)(3 \gamma^2 + 2 c_1 \gamma + c_2) \\ &= -(3 \alpha^2 + c_2)(3 \beta^2 + c_2)(3 \gamma^2 + c_2) \\ &= -(9 \alpha^2 \beta^2 + 3 c_2 (\alpha^2 + \beta^2) + c_2^2)(3 \gamma^2 + c_2) \\ &= -(27 \alpha^2 \beta^2 \gamma^2 + 9 c_2 (\alpha^2 \gamma^2 + \beta^2 \gamma^2) + 3 c_2^2 \gamma^2 + 9 c_2 \alpha^2 \beta^2 + 3 c_2^2 (\alpha^2 + \beta^2) + c_2^3) \\ &= -27 \alpha^2 \beta^2 \gamma^2 - 9 c_2 (\alpha^2 \beta^2 + \beta^2 \gamma^2 + \gamma^2 \alpha^2) - 3 c_2^2 (\alpha^2 + \beta^2 + \gamma^2) - c_2^3 \\ &= - 27 c_3^2 - 9 c_2 (c_2^2 - 2 \alpha^2 \beta \gamma - 2 \alpha \beta^2 \gamma - 2 \alpha \beta \gamma^2) - 3 c_2^2 (c_1^2 - 2 c_2) - c_2^3 \\ &= - 27 c_3^2 - 9 c_2^3 +18 c_1 c_2 c_3 + 6 c_2^3 - c_2^3 \\ &= - 4 c_2^3 - 27 c_3^2 \\ \end{align} \\

と解くことができます．

問題の解

f(t) = (t - x_1)(t - x_2)(t - x_3) とすると f = t^3 - a_1 t^2 + a_2 t - a_3 であるから， x_1,\ x_2,\ x_3 は， k に a_1,\ a_2,\ a_3 を付加した有理式体 k(a_1, a_2, a_3) 上の多項式 f の3つの根である．

k の標数が 3 でない場合：
k(a_1, a_2, a_3) の標数も3ではないから， s = t - a_1/3 とおくと， t = s + a_1/3 である． したがって，

\begin{align} f &= \left(s + \frac{a_1}{3} \right)^3 - a_1 \left(s + \frac{a_1}{3} \right)^2 + a_2 \left(s + \frac{a_1}{3} \right) - a_3 \\ &= \left(s^3 + a_1 s^2 + \frac{a_1^2}{3} s + \frac{a_1^3}{27} \right) - a_1 \left(s^2 + \frac{2 a_1}{3} s + \frac{a_1^2}{9} \right) + a_2 \left(s + \frac{a_1}{3} \right) - a_3 \\ &= s^3 + \left(\frac{a_1^2}{3} - \frac{2 a_1^2}{3} + a_2 \right) s + \left(\frac{a_1^3}{27} - \frac{a_1^3}{9} + \frac{a_1 a_2}{3} - a_3 \right) \\ &= s^3 + \left(- \frac{a_1^2}{3} + a_2 \right) s + \left(- \frac{2 a_1^3}{27} + \frac{a_1 a_2}{3} - a_3 \right) \\ \end{align} \\

となる．これを g(s) とおくと，

\begin{align} f(t) &= (t - x_1)(t - x_2)(t - x_3) \\ &= \left( \left(s + \frac{a_1}{3} \right) - x_1 \right) \left( \left(s + \frac{a_1}{3} \right) - x_2 \right) \left( \left(s + \frac{a_1}{3} \right) - x_3 \right) \\ &= \left(s - \left(x_1 - \frac{a_1}{3} \right) \right) \left(s - \left(x_2 - \frac{a_1}{3} \right) \right) \left(s - \left(x_3 - \frac{a_1}{3} \right) \right) \\ &= g(s) \\ \end{align} \\

であるから， x_1 - a_1/3,\ x_2 - a_1/3,\ x_3 - a_1/3 が g の3つの根となる． そこで補題2を用いると，

\begin{align} D &= (x_1 - x_2)^2 (x_2 - x_3)^2 (x_3 - x_1)^2 \\ &= \left( \left(x_1 - \frac{a_1}{3} \right) - \left(x_2 - \frac{a_1}{3} \right) \right)^2 \left( \left(x_2 - \frac{a_1}{3} \right) - \left(x_3 - \frac{a_1}{3} \right) \right)^2 \left( \left(x_3 - \frac{a_1}{3} \right) - \left(x_1 - \frac{a_1}{3} \right) \right)^2 \\ &= -4 \left(- \frac{a_1^2}{3} + a_2 \right)^3 -27 \left(- \frac{2 a_1^3}{27} + \frac{a_1 a_2}{3} - a_3 \right)^2 \\ &= -4 \left(- \frac{a_1^6}{27} + \frac{a_1^4 a_2}{3} - a_1^2 a_2^2 + a_2^3 \right) -27 \left(\frac{4 a_1^6}{27^2} + \frac{a_1^2 a_2^2}{9} + a_3^2 - \frac{4 a_1^4 a_2}{27 \cdot 3} - \frac{2 a_1 a_2 a_3}{3} + \frac{4 a_1^3 a_3}{27} \right) \\ &= \frac{4 a_1^6}{27} - \frac{4 a_1^4 a_2}{3} + 4 a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - \frac{4 a_1^6}{27} - 3 a_1^2 a_2^2 - 27 a_3^2 + \frac{4 a_1^4 a_2}{3} + 18 a_1 a_2 a_3 - 4 a_1^3 a_3 \\ &= a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 27 a_3^2 + 18 a_1 a_2 a_3 - 4 a_1^3 a_3 \\ \end{align} \\

が得られる．

k の標数が 3 の場合：
補題1を用いて直接計算すると，

\begin{align} D &= -(3 x_1^2 - 2 a_1 x_1 + a_2)(3 x_2^2 - 2 a_1 x_2 + a_2)(3 x_3^2 - 2 a_1 x_3 + a_2) \\ &= -(a_1 x_1 + a_2)(a_1 x_2 + a_2)(a_1 x_3 + a_2) \\ &= -(a_1^2 x_1 x_2 + a_1 a_2 (x_1 + x_2) + a_2^2)(a_1 x_3 + a_2) \\ &= -(a_1^3 x_1 x_2 x_3 + a_1^2 a_2 (x_1 x_3 + x_2 x_3) + a_1 a_2^2 x_3 + a_1^2 a_2 x_1 x_2 + a_1 a_2^2 (x_1 + x_2) + a_2^3) \\ &= - a_1^3 a_3 - a_1^2 a_2 (x_1 x_2 + x_2 x_3 + x_3 x_1) - a_1 a_2^2 (x_1 + x_2 + x_3) - a_2^3 \\ &= - a_1^3 a_3 - 2 a_1^2 a_2^2 - a_2^3 \\ &= - a_1^3 a_3 + a_1^2 a_2^2 - a_2^3 \\ &= a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 27 a_3^2 + 18 a_1 a_2 a_3 - 4 a_1^3 a_3 \\ \end{align} \\

が得られる．

よって， k の標数によらず， D = a_1^2 a_2^2 - 4 a_2^3 - 27 a_3^2 + 18 a_1 a_2 a_3 - 4 a_1^3 a_3 となる．

あとがき

この問題は標数が3の場合を分けて考えないといけないのが落とし穴だと思いました．

補題1は第5章§5の問題5(a)が \mathbb{Q} 上の多項式だけでなく，一般の体 K 上の多項式についても成り立つことを示しています． この記事に書いた第5章§8の問題4(c)は，この§5問題5(a)が頭に入っていれば解ける問題だと思いますが，解けずに悩んでいました． その時，シルヴェスター行列の行列式として終結式を計算することによって，判別式を求めることができるということをツイッターで教えていただきました． https://twitter.com/neruson70345238/status/1680434127601041409?s=20
教えてくださったネルソンさん，ありがとうございました．